3.836 \(\int \frac{(c (d \sin (e+f x))^p)^n}{(a+b \sin (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=322 \[ \frac{2 a b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{n p}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{b^2 \sin (e+f x) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (-n p-1)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (-n p-1),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{a^2 \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (1-n p),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2} \]

[Out]

(2*a*b*AppellF1[1/2, -(n*p)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d
*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^2*f*(Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)) - (b^2*AppellF1[1/2, (-1 - n*p)/2, 2, 3/2, C
os[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((-1 - n*p)/2)*
(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^2*f) - (a^2*AppellF1[1/2, (1 - n*p)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*C
os[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cot[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2
)^2*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.508049, antiderivative size = 322, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 5, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.185, Rules used = {2826, 2824, 3189, 429, 16} \[ \frac{2 a b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{n p}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{b^2 \sin (e+f x) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (-n p-1)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (-n p-1),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{a^2 \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (1-n p),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sin[e + f*x])^2,x]

[Out]

(2*a*b*AppellF1[1/2, -(n*p)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(c*(d
*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^2*f*(Sin[e + f*x]^2)^((n*p)/2)) - (b^2*AppellF1[1/2, (-1 - n*p)/2, 2, 3/2, C
os[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((-1 - n*p)/2)*
(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2)^2*f) - (a^2*AppellF1[1/2, (1 - n*p)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*C
os[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cot[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 - n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n)/((a^2 - b^2
)^2*f)

Rule 2826

Int[((c_.)*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_))^(n_)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol]
:> Dist[(c^IntPart[n]*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^FracPart[n])/(d*Sin[e + f*x])^(p*FracPart[n]), Int[(a + b*Sin[e
+ f*x])^m*(d*Sin[e + f*x])^(n*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[n]

Rule 2824

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int[Expan
dTrig[(d*sin[e + f*x])^n/((a - b*sin[e + f*x])^m/(a^2 - b^2*sin[e + f*x]^2)^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f
, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, -1]

Rule 3189

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[(ff*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*(d*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1)/
2]))/(f*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]), Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x]
, x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rule 16

Int[(u_.)*(v_)^(m_.)*((b_)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Dist[1/b^m, Int[u*(b*v)^(m + n), x], x] /; FreeQ[{b, n}, x
] && IntegerQ[m]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{(a+b \sin (e+f x))^2} \, dx &=\left ((d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^{n p}}{(a+b \sin (e+f x))^2} \, dx\\ &=\left ((d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \left (\frac{a^2 (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}-\frac{2 a b \sin (e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}+\frac{b^2 \sin ^2(e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}\right ) \, dx\\ &=\left (a^2 (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx-\left (2 a b (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{\sin (e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx+\left (b^2 (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{\sin ^2(e+f x) (d \sin (e+f x))^{n p}}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx\\ &=\frac{\left (b^2 (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^{2+n p}}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx}{d^2}-\frac{\left (2 a b (d \sin (e+f x))^{-n p} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \int \frac{(d \sin (e+f x))^{1+n p}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx}{d}-\frac{\left (a^2 d (d \sin (e+f x))^{-n p+2 \left (-\frac{1}{2}+\frac{n p}{2}\right )} \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2}-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{1}{2} (-1+n p)}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f}\\ &=-\frac{a^2 F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (1-n p),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^2 f}+\frac{\left (2 a b \sin ^2(e+f x)^{-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{n p}{2}}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f}-\frac{\left (b^2 (d \sin (e+f x))^{-n p+2 \left (\frac{1}{2}+\frac{n p}{2}\right )} \sin ^2(e+f x)^{-\frac{1}{2}-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{1}{2} (1+n p)}}{\left (-a^2+b^2-b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{d f}\\ &=\frac{2 a b F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{n p}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac{n p}{2}} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^2 f}-\frac{b^2 F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (-1-n p),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (-1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^2 f}-\frac{a^2 F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (1-n p),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cot (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (1-n p)} \left (c (d \sin (e+f x))^p\right )^n}{\left (a^2-b^2\right )^2 f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 19.0039, size = 2036, normalized size = 6.32 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n/(a + b*Sin[e + f*x])^2,x]

[Out]

-(((Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*(c*(d*Sin[e + f*x])^p)^n*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*
(-(a*(2 + n*p)*((a^2 + b^2)*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 1, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[
e + f*x]^2)/a^2] - 2*b^2*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 2, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e +
f*x]^2)/a^2])) + 2*b*(a^2 - b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^
2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x]))/(a^3*(a^2 - b^2)*f*(1 + n*p)*(2 + n*p)*(a + b*Sin[e + f*x
])^2*(-(((Sec[e + f*x]^2)^(1 + (n*p)/2)*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*(-(a*(2 + n*p)*((a^2 + b^2)*
AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 1, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] - 2*b^2*App
ellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 2, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2])) + 2*b*(a^2 -
b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x
]^2)/a^2]*Tan[e + f*x]))/(a^3*(a^2 - b^2)*(1 + n*p)*(2 + n*p))) - (n*p*(Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Tan[e + f*x]
^2*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*(-(a*(2 + n*p)*((a^2 + b^2)*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 1, (3
+ n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] - 2*b^2*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 2, (3 + n
*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2])) + 2*b*(a^2 - b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2,
(-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x]))/(a^3*(a^2 -
b^2)*(1 + n*p)*(2 + n*p)) - (n*p*(Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(
-1 + n*p)*(-(a*(2 + n*p)*((a^2 + b^2)*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 1, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 +
b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] - 2*b^2*AppellF1[(1 + n*p)/2, (n*p)/2, 2, (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^
2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2])) + 2*b*(a^2 - b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan
[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x])*(Sqrt[Sec[e + f*x]^2] - Tan[e + f*x]^2/Sqrt[Sec[
e + f*x]^2]))/(a^3*(a^2 - b^2)*(1 + n*p)*(2 + n*p)) - ((Sec[e + f*x]^2)^((n*p)/2)*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/S
qrt[Sec[e + f*x]^2])^(n*p)*(2*b*(a^2 - b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 2, 2 + (n*p)/2, -Tan
[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2 + 2*b*(a^2 - b^2)*(1 + n*p)*Tan[e + f*x]*((4*(-
a^2 + b^2)*(1 + (n*p)/2)*AppellF1[2 + (n*p)/2, (-1 + n*p)/2, 3, 3 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Ta
n[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a^2*(2 + (n*p)/2)) - ((1 + (n*p)/2)*(-1 + n*p)*AppellF1[2 + (
n*p)/2, 1 + (-1 + n*p)/2, 2, 3 + (n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*T
an[e + f*x])/(2 + (n*p)/2)) - a*(2 + n*p)*((a^2 + b^2)*((2*(-a^2 + b^2)*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (1 + n*p)/2, (n
*p)/2, 2, 1 + (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a
^2*(3 + n*p)) - (n*p*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (1 + n*p)/2, 1 + (n*p)/2, 1, 1 + (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-
a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 + n*p)) - 2*b^2*((4*(-a^2 + b^2)*(1 + n*p)*App
ellF1[1 + (1 + n*p)/2, (n*p)/2, 3, 1 + (3 + n*p)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e
+ f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a^2*(3 + n*p)) - (n*p*(1 + n*p)*AppellF1[1 + (1 + n*p)/2, 1 + (n*p)/2, 2, 1 + (3 + n*p
)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 + n*p)))))/(a^3*(a^2
- b^2)*(1 + n*p)*(2 + n*p)))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.394, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( c \left ( d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{p} \right ) ^{n}}{ \left ( a+b\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x)

[Out]

int((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(b*sin(f*x + e) + a)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-\frac{\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{b^{2} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a b \sin \left (f x + e\right ) - a^{2} - b^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(b^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*b*sin(f*x + e) - a^2 - b^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (c \left (d \sin{\left (e + f x \right )}\right )^{p}\right )^{n}}{\left (a + b \sin{\left (e + f x \right )}\right )^{2}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))**p)**n/(a+b*sin(f*x+e))**2,x)

[Out]

Integral((c*(d*sin(e + f*x))**p)**n/(a + b*sin(e + f*x))**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{p} c\right )^{n}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c*(d*sin(f*x+e))^p)^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(((d*sin(f*x + e))^p*c)^n/(b*sin(f*x + e) + a)^2, x)